1. 怎样的非负矩阵可逆并且其逆也非负?

解答: 设 $A\geq0$ 可逆, 且其逆 $A^{-1}=B\geq 0$. 则 $$\bex I_n=AB=BA. \eex$$ 对 $A$ 的第 $i$ ($1\leq i\leq n$) 列, 由 $A$ 可逆知 $$\bex \exists\ j,\st a_{ij}>0. \eex$$ 又由 $$\bex a_{ij}b_{jk}\leq \sum_{l=1}^n a_{il}b_{lk}=\delta_{ik} \eex$$ 知 $$\bex k\neq i\ra b_{jk}=0. \eex$$ 又 $B$ 可逆, 而 $B$ 的第 $j$ 行仅有一个正元素 $b_{ji}$. 根据 $BA=I_n$, 我们可重复上述推理, 得到 $$\bex k\neq j\ra a_{ik}=0. \eex$$ 这样, $A$ 的第 $i$ 行也仅有一个正元素 $a_{ij}$. 如此, $A$ 的每一行均只有一个正元素. 因为 $A$ 可逆, 这些正元素 $a_1,\cdots,a_n$ 分布于不同的列, 设这些列为 $$\bex \sigma(1),\cdots, \sigma(n). \eex$$ 则 $$\bex A=\diag(a_1,\cdots,a_n)P, \eex$$ 其中 $P$ 为置换阵, 其元素仅在 $(\sigma(i),i)$ 的位置上为 $1$. 综上, $A$ 为对角元为正的对角阵乘以任一置换阵.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.1