6. 设 $A$ 是个非负本原方阵, 则 $$\bex \vlm{k} [\rho(A)^{-1}A]^k =xy^T, \eex$$ 其中 $x$ 和 $y$ 分别是 $A$ 和 $A^T$ 的 Perron 根, 满足 $xy^T=1$.

证明: 由 $A$ 本原知 $A$ 的特征值为 $$\bex \rho(A)>|\lm_2|\geq \cdots |\lm_n|. \eex$$ 由 Jordan 标准型理论, 存在可逆阵 $T$, 使得 $$\bex T^{-1}AT=\sex{\ba{cc} \rho(A)&0\\ 0&B \ea}, \eex$$ 其中 $B$ 为上三角阵, 其对角元为 $\lm_2,\cdots,\lm_n$. 据此, $$\bex T^{-1}\frac{A}{\rho(A)}T=\sex{\ba{cc} 1&0\\ 0&\frac{B}{\rho(A)} \ea} \ra T^{-1}\sez{\frac{A}{\rho(A)}}^kT =\sex{\ba{cc} 1&0\\ 0&\sez{\frac{B}{\rho(A)}}^k \ea}. \eex$$ 据第 1 章第 2 题知 $$\bee\label{6_6_lim} \vlm{k}\sez{\frac{A}{\rho(A)}}^k =T\sex{\ba{cc} 1&0\\ 0&0\ea}T^{-1}. \eee$$设 $$\bex T=\sex{\ba{cc} a&r\\ c&C \ea},\quad T^{-1}=\sex{\ba{cc} a‘&r‘\\ c‘&C‘ \ea}, \eex$$ 则 $$\bee\label{6_6_T} T\sex{\ba{cc} 1&0\\ 0&0 \ea}T^{-1}=\sex{\ba{cc} aa‘&ar‘\\ ca‘&cr‘ \ea}=\sex{\ba{cc} a\\c \ea}\sex{\ba{cc} a‘&r‘ \ea}. \eee$$又由 $$\bex AT=T\sex{\ba{cc} \rho(A)&0\\ 0&B \ea},\quad A^T(T^{-1})^T =(T^{-1})^T\sex{\ba{cc} \rho(A)&0\\ 0&B^T \ea} \eex$$ 知 $$\bee\label{6_6_xy} x=\sex{\ba{cc} a\\ c \ea},\quad y=\sex{\ba{cc} a‘\\ r‘^T \ea} \eee$$分别是 $A,A^T$ 的 Perron 根, 且据 $T^{-1}T=I$ 知 $$\bex 1=a‘a+r‘c=\sex{\ba{cc} a‘&r‘ \ea}\sex{\ba{cc} a\\ c \ea} =y^Tx=x^Ty. \eex$$ 联合 \eqref{6_6_lim}, \eqref{6_6_T}, \eqref{6_6_xy}, 我们有 $$\bex \vlm{k} [\rho(A)^{-1}A]^k =xy^T. \eex$$

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.6