8. 设 $A$ 是个不可约奇异 $M$-矩阵, 则存在正向量 $x$ 满足 $Ax=0$.

证明: 由 $A$ 为 $M$-矩阵知 $$\bex A=cI-B,\quad c\geq \rho(B),\quad B\geq 0. \eex$$ 又 $A$ 奇异, $$\bex 0=|A|=|cI-B|\ra c\in \sigma(A)\ra c\leq \rho(B). \eex$$ 因此, $c=\rho(B)$. 另外, $A$ 不可约, 而 $B$ 非负不可约. 据定理 6.8 (Perron-Frobenius), $B$ 有一个对应于 $\rho(B)$ 的正特征向量 $x$, $$\bex Bx=\rho(B)x\ra Ax=0. \eex$$

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.8