1. (Maybee) 设 $A$ 是一个树符号模式. 证明:

(1). 若 $A$ 的每个简单 $2$-圈都是正的, 则对于任何 $B\in Q(A)$, 存在可逆的实对角矩阵 $D$ 使得 $D^{-1}AD$ 为对称矩阵.

(2). 若 $A$ 的每个对焦元素为 $0$ 且 $A$ 的每个 $2$-圈都是负的, 则对于任何 $B\in Q(A)$, 存在可逆的实对角矩阵 $D$ 使得 $D^{-1}AD$ 为反对称矩阵.

证明: 树符号模式只有 $2n-2$ 个非零的非对角元, 并且它们对称分布. 设 $A$ 的上三角部分中除去对角元的 $n-1$ 个不为零的元素为 $a_{i_1j_1},\cdots,a_{i_{n-1}j_{n-1}}$.

(1). 设 $D=\diag(d_1,\cdots,d_n)$, 则 $$\bex \frac{1}{d_{i_l}}a_{i_lj_l}d_{j_l}= \frac{1}{d_{j_l}}a_{j_li_l}d_{i_l},\quad i=1,\cdots,n-1. \eex$$

(2). 设 $D=\diag(d_1,\cdots,d_n)$, 则 $$\bex \frac{1}{d_{i_l}}a_{i_lj_l}d_{j_l}= -\frac{1}{d_{j_l}}a_{j_li_l}d_{i_l},\quad i=1,\cdots,n-1. \eex$$

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.1