5. 元素属于 $\sed{0,*}$ 的矩阵称为零模式矩阵. 设 $A$ 是零模式矩阵, 用 $Q_\bbF(A)$ 记元素属于域 $\bbF$ 的具有零模式 $A$ 的矩阵的集合, 即若 $B\in Q_F(A)$, $B=(b_{ij})$, $A=(a_{ij})$, 则 $b_{ij}=0$ 当且仅当 $a_{ij}=0$. 设 $\bbF$ 的元素不少于 $3$ 个. 证明: $Q_\bbF(A)$ 中的每个矩阵非奇异当且仅当 $A$ 置换等价于一个对角元素非零的上三角矩阵.

证明: $\la$: 这很显然. 因为此时对 $\forall\ B\in Q_\bbF(A)$, 其行列式的标准展开式中只有一项不为零. $\ra$: 类似于定理 7.2, $A$ 符号非奇异当且仅当 $\forall\ B\in Q_\bbF(A)$, $B$ 的行列式的标准展开式中只有一项不为零. 事实上, 若有两项非零, 则稍微改下某元素的正负号, 大小即可使 $\det B=0$. 设 $\det B$ 的标准展开式中不为零的项为 $b_{1\sigma(1)},\cdots, b_{n\sigma(n)}$, 则存在置换阵 $P$, 使得 $$\bex PB=\sex{\ba{ccc} c_{11}&&*\\ &\ddots&\\ *&&c_{nn} \ea}\equiv C,\quad c_{ii}=b_{i\sigma(i)}. \eex$$ 对 $1\leq i<j\leq n$, 考虑 $C$ 的展开式中 $$\bex c_{11}\cdots c_{i-1,i-1}c_{ij} c_{i+1,i+1}\cdots c_{j-1,j-1} c_{ji} c_{j+1,j+1}\cdots c_{nn}=0, \eex$$ 而 $$\bex c_{ij}=0\mbox{ 或 }c_{ji}=0. \eex$$ 这样, 不断的对第一行第一列相应的元素进行分析, 我们知 $C$ 的第一行或第一列除第一个元素为均为零. 同理, $C$ 的第二行或第二列除前两个元素外均为零. 等等. 经过行列置换, 我们即发现 $C$ 是以 $c_{ii}$ 为对角元的上三角阵.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.5