6. 举例说明: 存在那样的实方阵 $A$, $A$ 的零元素的个数大于 $A$ 的 Jordan 标准形的零元素的个数.

解答: 想法就是利用第 5 节的 Jordan 标准形的组合刻画. 既然非对角元的零元素的个数 Jordan 标准形最多. 我们只能让 $A$ 的对角元尽量地多为零, 但其特征值尽量少地为零. 一个例子即为: $$\bex A=\sex{\ba{cccc} 0&-1&&\\ 1&0&1&\\ &0&-1\\ &&1&0 \ea},\quad J(A)=\sex{\ba{cccc} i&1&&\\ &i&&\\ &&-i&1\\ &&&-i \ea}. \eex$$

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.6