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【NOI2001】炮兵阵地
【题目描述】
司令部的将军们打算在N*M的网格地图上部署他们的炮兵部队。一个N*M的地图由N行M列组成，地图的每一格可能是山地（用“H” 表示），也可能是平原（用“P”表示），如下图。在每一格平原地形上最多可以布置一支炮兵部队（山地上不能够部署炮兵部队）；一支炮兵部队在地图上的攻击 范围如图中黑色区域所示：
如果在地图中的灰色所标识的平原上部署一支炮兵部队，则图中的黑色的网格表示它能够攻击到的区域：沿横向左右各两格，沿纵向上下各两格。图上其它白色网格均攻击不到。从图上可见炮兵的攻击范围不受地形的影响。
现在，将军们规划如何部署炮兵部队，在防止误伤的前提下（保证任何两支炮兵部队之间不能互相攻击，即任何一支炮兵部队都不在其他支炮兵部队的攻击范围内），在整个地图区域内最多能够摆放多少我军的炮兵部队。
【输入文件】
文件的第一行包含两个由空格分割开的正整数，分别表示N和M；
接下来的N行，每一行含有连续的M个字符（‘P’或者‘H’），中间没有空格。按顺序表示地图中每一行的数据。N≤100；M≤10。
【输出文件】
文件仅在第一行包含一个整数K，表示最多能摆放的炮兵部队的数量。
【分析】
这是一道经典的状态压缩类动态规划的题目。
我们可以看到表示列数的M（M<=10）很小，考虑用一个数的二进制位0与1来表示是否放置炮兵，同时我们用0来表示高低，1来表示平原，用map[i]来记录。
我们发现，因为炮兵的范围可以延伸到两行，所以我们在考虑L行的状态时，总要根据L-1行与L-2行来推得，于是，我们想到要先将所有可行的状态通过枚举得出来(即满足同行两个炮兵互不攻击)，并用state[i]来记录，同时我们也需要把每行所摆的炮兵数用Count[i]记录，注意第一行要特殊处理。
完成了以上的准备工作，用F[i][J][k]来表示在第i行采用第j个状态，上一行采用第k个状态所能得到的最大炮兵数，于是我们很容易得到状态转移方程：
满足state[k1]&state[j]==0 && state[k2]&state[j]==0 && map[i]|state[j]==map[i]
f[i][j][k1]=max(f[i][j][k1],f[i-1][k1][k2]+Count[j])
需满足条件中三个条件所代表的意义分别是，I行与I-1行、I-2行均不冲突，且与地形不冲突，然后就可以转移状态了。
1 #include <cstdlib> 2 #include <iostream> 3 #include <cstdio> 4 #include <cmath> 5 #include <algorithm> 6 #include <cstring> 7 const int maxn=105; 8 using namespace std; 9 int n,m,map[maxn],size; 10 int f[maxn][maxn][maxn]; 11 int Count[maxn],state[maxn]; 12 13 void prepare(); 14 void dp(); 15 16 int main() 17 { 18 int i,j; 19 //文件操作 20 freopen("cannon.in","r",stdin); 21 freopen("cannon.out","w",stdout); 22 23 scanf("%d%d",&n,&m); 24 for( int i = 1; i <= n; i ++ ){ 25 char str[20]; 26 scanf("%s", str); 27 for( int j = 0; j < m; j ++ ){ 28 if( str[j] == ‘P‘ ) 29 map[i] = (map[i]<<1)+1; 30 else map[i] = (map[i]<<1)+0; 31 } 32 } 33 prepare();//预处理第一行 34 dp();//状态转移 35 int ans=0; 36 for (i=0;i<size;i++) 37 for (j=0;j<size;j++) 38 ans=max(ans,f[n][i][j]); 39 40 printf("%d\n",ans); 41 return 0; 42 } 43 void prepare() 44 { 45 int i;//记录状态个数 46 memset(f,0,sizeof(f)); 47 48 for (i=0;i<(1<<m);i++) 49 { 50 //flag代表是否可以摆 51 int cnt=0,temp=i,flag=0; 52 while (temp>0){ 53 //摆了 54 if ((temp&1)==1){ 55 if (flag>0) break; 56 else flag=2;//放上比较 57 cnt++;//用来统计本行放上的炮兵个数 58 } 59 else flag--; 60 temp=temp>>1; 61 } 62 if (temp==0)//可以摆 63 { 64 Count[size]=cnt; 65 //表示地形可以摆放 66 if ((map[1]|i)==map[1]) 67 f[1][size][0]=cnt; 68 //累计状态 69 state[size++]=i; 70 } 71 } 72 return; 73 } 74 void dp() 75 { 76 int i,k1,k2,j; 77 for (i=2;i<=n;i++)//决策行 78 for (k1=0;k1<size;k1++)//上一行 79 for (k2=0;k2<size;k2++)//上两行 80 if (f[i-1][k1][k2]>0)//上两行的摆放状态是合理的 81 { 82 for (j=0;j<size;j++) 83 //查看当前摆放状态与上两行是否冲突 84 if ((state[k1]&state[j])==0 && (state[k2]&state[j])==0) 85 if ((map[i]|state[j])==map[i]) 86 f[i][j][k1]=max(f[i][j][k1],f[i-1][k1][k2]+Count[j]); 87 } 88 }