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【BZOJ 1096】 [ZJOI2007]仓库建设

2024-11-16 02:52:39   202人阅读

1096: [ZJOI2007]仓库建设

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Description

L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据： 工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;  工厂i目前已有成品数量Pi;  在工厂i建立仓库的费用Ci; 请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。 


斜率优化的dp。


f[i]表示在i点建厂（使i之前都完成）的最小费用。


f[i]=min(f[j]+(计算j-1到i+1的货物全部运到j的花费))    (j<i)


“计算j+1到i-1的货物全部运到j的花费”应该怎么算呢？


设sum[]是p[]的前缀和，如果j+1到i-1的货物都是从0运到i，花费为(sum[i-1]-sum[j])*x[i]。


对于每一个点k都多花了从0到k的费用，那么我们用b[]表示p[i]*x[i]的前缀和。


因此最终的dp方程为：


f[i]=min(f[j]+(sum[i-1]-sum[j])*x[i]-(b[i-1]-b[j]))    (j<i)


见到形如X*a+Y*b想到斜率优化。


假设j>k，且j的方案优于k:


(f[j]-f[k]+b[j]-b[k])/(sum[j]-sum[k])<x[i]


x[i]是单增的，因此不满足当前的x[i]一定不满足之后的x[i]，直接从队列中删除。


#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#define M 1000005
#define LL long long
using namespace std;
int n,q[M];
LL x[M],c[M],p[M],sum[M],b[M],f[M];
double slope(int j,int k)
{
	return (double)(f[j]-f[k]+b[j]-b[k])/(double)(sum[j]-sum[k]);
}
int main()
{
        scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>x[i]>>p[i]>>c[i];
		sum[i]=sum[i-1]+p[i];
		b[i]=b[i-1]+p[i]*x[i];
	}
	int l=0,r=0;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		while (l<r&&slope(q[l+1],q[l])<(double)x[i])
			l++;
		int j=q[l];
		f[i]=f[j]+(sum[i-1]-sum[j])*x[i]-(b[i-1]-b[j])+c[i];
		while (l<r&&slope(i,q[r])<slope(q[r],q[r-1]))
			r--;
		q[++r]=i;
	}
	cout<<f[n]<<endl;
	return 0;
}

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感悟：

1.一开始wa了，因为没有把int变成long long

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